Matemáticas+Viajes+Mapas

toc ¿Recordáis el juego de los barquitos o de ** HUNDIR LA FLOTA ** ? Es un divertido juego por parejas que consiste en hundir la flota enemiga a partir de las coordenadas. Existen otras modalidades aún más difíciles y divertidas, como la del siguiente blog. Pues bien, ese juego es un buen preámbulo para el estudio de las coordenadas cartesianas de un punto en el plano, ya que la posición de cada barco queda exactamente señalada gracias a los valores que otorgamos a su fila o a su columna.



Un sistema parecido utilizan también los buenos ajedrecistas para expresar sus movimientos por el tablero, asignando letras y números a un lado y otro del tablero respectivamente. Y como éstos, existen otros interesantes juegos en la red en los que se necesita conocer el sistema de coordenadas cartesianas para poder jugar. Por ejemplo, en el juego ** GAME OVER GOPHER, ** tenemos que intentar parar a unas ardillas antes de que se coman una zanahoria gigante, pero para ello es necesario, antes y durante cada nivel, ir situando unas máquinas lanza-comida en puntos estratégicos que vienen dados por coordenadas. ¡¡ De nuevo las matemáticas !! Si queréis, podéis probarlo gratis pinchando en la siguiente imagen:

= ** 1. COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO ** =

El sistema de coordenadas Cartesianas fue desarrollado por el matemático René Descartes durante una enfermedad. Estando en la cama, vio una mosca que estaba volando en el techo, el cuál estaba hecho de baldosas cuadradas. De pronto se dio cuenta de que podía describir la posición de la mosca por la baldosa en que ésta se encontrara. Más tarde, en el siglo XVII, él mismo desarrolló el sistema de coordenadas cartesianas para poder visualizar funciones, mediante la graficación de los valores de una función como pares ordenados. El funcionamiento del plano cartesiano y las coordenadas de un punto se exponen fácilmente en el siguiente ejemplo:



En este sistema se dibujan dos rectas perpendiculares (una horizontal y otra vertical), se marca un centro u “origen” en el cruce de ambas, y se determinan unas escalas horizontales y verticales en cada eje. Posteriormente, podemos crear una cuadrícula de líneas horizontales y verticales paralelas a los ejes y uniformemente distribuidas para localizar cada punto. Veamos un ejemplo:



Observad que las escalas horizontales y verticales son diferentes, pero cada una está dividida en partes iguales. Además, el punto está identificado con sus coordenadas cartesianas, que representan el movimiento horizontal y vertical desde el origen, en ese orden exactamente. Esta es la convención matemática para denominar los puntos. En el siguiente ejemplo se os enseña cómo situar puntos en el plano utilizando sus coordenadas:



Otro nombre para el valor del movimiento horizontal es la abscisa, y para el vertical la Ordenada, aunque estos términos no son muy usados en la actualidad. Intentad realizar correctamente los siguientes ejercicios para comprobar si sabéis asignar coordenadas a un punto en el plano y situar cualquier punto dadas sus coordenadas: Para afianzar estos conceptos relacionados con las coordenadas de un punto y la relación existente entre las variables x e y, debéis realizar la siguiente.

Como habréis podido observar, al dar las coordenadas de un punto, es también muy usual utilizar lo que se denomina una //Tabla de valores//, en la que se desglosan las coordenadas de los puntos que vamos a situar en el sistema:

= ** 2. COORDENADAS GEOGRÁFICAS TERRESTRES ** =

Las coordenadas geográficas se obtienen a partir de un conjunto de líneas imaginarias que permiten ubicar con exactitud un lugar en la superficie de la Tierra. Estas líneas o círculos son trazados por los cartógrafos sobre los mapas, y permiten ubicar cualquier punto de nuestro planeta a la perfección. Para conocer mejor el funcionamiento de las coordenadas terrestres vamos a recordar previamente algunos conceptos:



Paralelos y Latitud
Los // **__paralelos__** // son líneas circulares imaginarias que se trazan perpendicularmente al eje polar o eje de la tierra. El más importante es la __ Línea del Ecuador __, que se encuentra ubicada a igual distancia de los polos y es el Círculo máximo que divide a la Tierra en dos Hemisferios: ** Hemisferio Norte ** (ártico, boreal o septentrional) y ** Hemisferio Sur ** (antártico, austral o meridional), y todos los paralelos se trazan a la misma distancia con respecto al Ecuador.

Existen cuatro paralelos que reciben denominaciones especiales y que están relacionados con los movimientos de la Tierra en el espacio:

En el hemisferio Norte: //Trópico de Cáncer// y //Círculo Polar Ártico//. En el hemisferio Sur: //Trópico de Capricornio// y //Círculo Polar Antártico//. Si tomamos como referencia el Ecuador, los paralelos son trazados a intervalos de 10º, habiendo 90 paralelos alcanzando los 90ºN en el Polo Norte y 90ºS en el Polo Sur, por lo tanto hay 180º. A estas distancias, medidas en grados, que hay entre cualquier paralelo y el Ecuador se le llama **latitud**.

Meridianos y Longitud
En forma perpendicular al Ecuador se pueden trazar infinitos círculos imaginarios que rodean la Tierra pasando por los polos y cuyo diámetro coincide con el eje polar. Estos círculos están formados por dos semicírculos denominados respectivamente //**__meridianos__**// y antimeridianos, los cuales dividen la Tierra en dos hemisferios. Se ha determinado como Meridiano de origen a aquel que pasa por el observatorio Astronómico de Greenwich, en Inglaterra. El Meridiano de Greenwich divide a la Tierra en dos Hemisferios: **Hemisferio Oeste** u Occidental y **Hemisferio Este** u Oriental. A partir del Meridiano 0º, se cuentan 180 meridianos hacia el oeste, los que corresponden al Hemisferio Occidental y 180 meridianos hacia el este, correspondientes al Hemisferio Oriental, lo cual hace un total de 360 meridianos.

La **longitud** es la distancia en grados, entre cualquier meridiano y el Meridiano de Greenwich, punto universal de referencia. En nuestra esfera terrestre, los meridianos se han trazado a intervalos de 10º. La longitud se mide exclusivamente hacia el Este o hacia el Oeste. Como hay 180 meridianos en cada hemisferio, la mayor longitud que se puede medir en cada uno es de 180º, tanto en dirección este como en dirección oeste. A continuación podéis ver un interesante vídeo sobre la esfera terrestre y la importancia de los meridianos y paralelos:

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Para repasar todo lo estudiado, puedes realizar la ficha de actividades sobre. En los siguientes enlaces tienes unos cuantos ejercicios para afianzar tus conocimientos al respecto:

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Coordenadas geográficas
Según todo lo anterior, cualquier punto ubicado en la superficie de nuestro planeta se encuentra en el cruce de un paralelo (latitud) y un meridiano (longitud). Si se indica la latitud y la longitud de un lugar, se puede obtener su localización exacta. El Sistema de Coordenadas Geográficas determina todas las posiciones de la superficie terrestre utilizando las coordenadas angulares de un sistema de coordenadas esféricas que está alineado con el eje de rotación de la tierra. Este define dos ángulos medidos desde el centro de la tierra que son la latitud y la longitud. Realmente es algo parecido a "cubrir" la esfera terrestre con un sistema de coordenadas parecido al sistema cartesiano que estudiamos para el plano. Observa la imagen anterior y las coordenadas de cada punto que se adjunta a continuación: Observa que también pueden tomarse coordenadas positivas y negativas como hacíamos con el sistema de coordenadas cartesianas y expresar las coordenadas de cada punto en la esfera terrestre de la siguiente forma: A continuación, pinchando en la imagen inferior, vamos a colocar las coordenadas de diversas ciudades del planeta. Utiliza la ficha para completar también las coordenadas y expresarlas mediante coordenadas cartesianas, con signos positivos y negativos. Para los ejercicios posteriores, necesitarás conocer un poco más sobre cómo localizar coordenadas en Google Maps, un poco más adelante.



Actualmente existen muchas páginas en Internet que nos permiten saber las coordenadas de cualquier lugar concreto fácilmente (de tu casa, de tu oficina o de donde estés). En realidad es muy sencillo, pero mucha gente piensa que si no tienes un receptor GPS es muy difícil saber cuáles son las coordenadas del punto del planeta en que estás. El truco es usar alguno de los servicios de mapas gratuitos que hay en la Red. Basta localizar nuestra situación buscando en el mapa, localizar las coordenadas y listo. El más famoso de estos sistemas es tal vez Google Maps que tiene muy buena cobertura de España. La explicación sencilla sobre cómo hacerlo sería esta:

Cómo localizar unas coordenadas con Google Maps:

1. Ir a la página web maps.google.com. 2. Escribir el nombre de la ciudad, por ejemplo. Si no sale nada hay que hacer clic en el botón Satellite para activar las fotos. 3. Buscar el lugar del que quieres averiguar las coordenadas. Se utiliza el ratón para arrastrar la imagen y la barra de zoom de la izquierda para acercar y alejar. 4. Hay que centrar bien la imagen para que la ubicación quede justo en el centro. En la versión antigua aparece una flechita con una letra señalando el sitio. 5. Una vez hecho esto, nos colocamos encima del sitio con el ratón (o sobre la flechita en la versión antigua), hacemos clic con el botón derecho y apretamos //¿Qué hay aquí?.// E n la parte superior aparecen las coordenadas. Recordad que siempre está primero la latitud y después la longitud.

Observa por ejemplo en el siguiente enlace la Puerta de Alcalá: @http://maps.google.com/maps?q=madrid,+spain&ll=40.420088,-3.688810&spn=0.005245,0.010620&t=h&hl=en En este ejemplo los valores son: // **Latitud 40.420088º** //, ** //Longitud -3.688810º// ** , expresados en grados de forma decimal (no como grados, minutos y segundos).

Ahora bien, ¿cómo podemos pasar de estas coordenadas a coordenadas geográficas sexagesimales? El proceso se describe a continuación:

1. La parte entera de los grados en decimal es el número de grados en sexagesimal. 2. Multiplicamos la parte decimal por 60, ya que un grado contiene 60 minutos. La parte entera del número que salga serán los minutos. 3. Del resultado decimal que obtengamos en el paso anterior, multiplicamos por 60 la parte decimal, ya que un minuto contiene también 60 segundos. Luego el resultado entero redondeado serán los segundos. 4. Por último hemos de tener en cuenta que un signo negativo en la coordenada decimal de latitud significa que es SUR, y en la coordenada decimal de longitud significa que es OESTE.

Observa el ejemplo anterior para dar las coordenadas de la Puerta de Alcalá en coordenadas geográficas sexagesimales: El resultado será:


 * Longitud: 3º41'20''O. **
 * Latitud: 40º25'12'' N. **

A la inversa también funciona, claro. Si tienes unas coordenadas y quieres ver el mapa, las tecleas en Google Maps como // 40.420088, -3.688810 // y ya está. (Positivo para Norte y Este, negativo para Sur y Oeste)

= ** 3. MAPAS ** =

Un mapa es una representación plana y a escala de una parte de la superficie de la tierra. A la hora de abordar cualquier viaje o excursión es muy necesario conocerlos y comprender sus principales elementos. En esta sección conoceremos algunos tipos de mapas existentes y comprenderemos su manejo.

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__** Mapa físico **__
Es la representación del relieve de una zona o un conjunto de regiones, como, por ejemplo, sus valles, ríos, montañas, etc. En el mapa físico aparecen los ríos, las montañas y demás accidentes geográficos. Muchas veces los colores de un mapa señalan diferencias de altura y, en algunos casos, de vegetación.



A un lado del mapa o en la parte inferior hay indicaciones que explican lo que significa los colores, estas indicaciones se llaman referencias o acotaciones.

__** Mapa político **__
Es la representación gráfica que muestra cómo se dividen los países, ciudades o localidades entre sí. Hace referencia a la división política del mundo, o bien, de un país, estado, o municipio.

En los mapas políticos se muestran los límites entre países o entre estados, así como las capitales y otras ciudades importantes, además de las divisiones comunales. También pueden aparecer todos los ríos y montañas principales.

__ ** Mapa topográfico ** __
Contiene información en detalle de los accidentes geográficos naturales y artificiales de la superficie del suelo y curvas de nivel. En ellos se detallan el relieve, la forma y latitud de las montañas y cerros.

El objetivo de la lectura de un mapa topográfico es poder imaginar las diferentes formas del terreno y sus detalles, que en el mapa vienen indicados mediante curvas de nivel, colores y símbolos. El dominio en la interpretación de un mapa transformará las líneas serpenteantes, señales extrañas y dibujos irregulares de colores, en una expresiva imagen mental de la realidad. La clave de los detalles de un mapa topográfico está en las curvas de nivel, cuyo dibujo tiene poco sentido para el que no esté acostumbrado a ellas. Cada curva de nivel es una línea imaginaria sobre el suelo, a una altura constante sobre el nivel del mar.

__ ** Mapa de carreteras ** __
Indica las diferentes carreteras existentes entre las distintas poblaciones. Suelen distinguirse entre carreteras principales y secundarias y algunos incluyen también caminos o vías no asfaltadas. En el siguiente link podéis obtener los mapas de carreteras de toda Andalucía a distintas escalas.



__ ** Otros mapas ** __
** Mapa Físico Geográfico ** Mapa de múltiples usos. Contiene información sobre la orografía, hidrografía, red vial, poblaciones y otras de carácter geográfico de un territorio ** Mapa o carta edafológica ** Muestra las propiedades físicas, químicas y biológicas del suelo para determinar cuestiones como su desertificación y contaminación. ** Mapa geológico ** Sirve para identificar los manantiales, las rocas, fallas del suelo, volcanes, así como las zonas donde se encuentran minerales, como el oro, la plata y el cobre, entre otros. ** Mapa climático ** Identifica las áreas de los diferentes grupos climáticos del país ** Mapa urbano ** Registra lo mejor posible las zonas urbanas y vías de comunicación.

__** Escala numérica **__
Es la relación de proporcionalidad directa existente entre las medidas reales en el terreno (T) y las correspondientes representadas en el mapa (M). Se representa como un cociente o división cuyo numerador suele ser siempre 1.

E = M:T Por Ejemplo, la escala 1:100.000, significa que la unidad en el papel equivale a 100.000 unidades en el terreno, y la escala 1:25.000 significa que una unidad en el mapa equivalen a 25.000 en la realidad. Cabe resaltar que la escala es adimensional, es decir, puede utilizarse con cualquier unidad de medida longitudinal siempre y cuando sean las mismas unidades en ambos lados de la escala, si se toman las unidades en centímetros en un mapa a escala 1:100.000, se tiene que 1 cm en el mapa (M) equivale a 100.000 cm en el terreno (T), es decir, 1 km.

Cuanto mayor sea el denominador, más pequeño serán los elementos representados en el mapa final que obtengamos. Entonces cuando se tiene un denominador grande, se esta hablando de escalas pequeñas, y viceversa.

El término escala grande o pequeña, esta asociado al mayor o menor detalle que puedes observar en un mapa, cuando se pueden observar los diversos elementos representados en un mapa con sumo detalle, se habla de escalas grandes, y si los elementos están representados con símbolos o poco detalle, se habla de escalas pequeñas.



Cuando la escala es grande, el mapa abarca un área muy pequeña pero los detalles son muy visibles, las formaciones del terreno y la información planimétrica están muy detalladas. En las escalas grandes, por regla general, los mapas no utilizan símbolos, todos los elementos son representados en su forma real; se consideran mapas de gran exactitud y precisión. Sin embargo, a partir de la escala 1:25.000 ya se comienzan a utilizar símbolos, hecho que no le resta exactitud al mapa.

En los mapas a escala mediana, muchos de los elementos son simbolizados, la representación del terreno es generalizada, conservando su forma. Su exactitud y precisión pueden ser muy buenas dentro de las escalas respectivas.

Los mapas en escalas pequeñas, aun cuando su precisión y exactitud sean buenas, muestran la gran mayoría de su contenido por medio de símbolos, que se ubican en su precisión correcta con pequeños desplazamientos, y las formas de los efectos planimétricos tienden a generalizarse.

__** Escala gráfica **__
Es una reglilla constituida por varios segmentos iguales y contiguos de una recta, denominados unidades, de manera que cada uno indica un determinado número de metros, kilómetros u otras medidas de longitud. Las escalas gráficas se pueden presentar de varias formas, para darle elegancia a las mismas: en colores, con varias líneas horizontales o sencillas con una línea. La escala gráfica consta de dos partes denominadas Cuerpo y Talón:

Del cero a la izquierda aparece una división que es la cabeza o talón, generalmente está subdividida en partes más pequeñas, que sirven para comparar y tomar mejor las medidas. Del cero hacia la derecha está el **cuerpo** de la escala, que son las divisiones con el valor que representan y al final debe llevar las Unidades (m, km, millas..... ). Algunas escalas no contienen la cabeza y aparece únicamente el **cuerpo.** Con la escala gráfica, se pueden medir directamente distancias del terreno sobre el propio mapa. Simplemente se mide la distancia deseada y luego se transporta sobre la escala gráfica para leer y estimar la distancia. En el siguiente enlace puedes aprender más sobre las escalas numérica y gráfica y la relación entre ambas. Además, en la sección de Recursos hay un documento muy interesante sobre los mapas y las escalas por si necesitas comprender mejor o ampliar información. Para poner en práctica lo aprendido sobre mapas y escalas, realizaremos las siguientes actividades interactivas y posteriormente las fichas de y Diseñando vuestra ruta.