Matemáticas+Museo+Egipto

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 * A diferencia de las civilizaciones de la Mesopotamia, con más de 400 tablas de arcilla que llegaron hasta nosotros, se tienen pocas fuentes de información sobre las matemáticas egipcias. Los pocos papiros que llegaron hasta nuestros días parecen ser de instrucción básica y probablemente no reflejen los conocimientos matemáticos que los egipcios poseían. En concreto, los papiros de Rhind y de Moscú, que datan del 1800 A.C. y del 1650 A.C. respectivamente, son los dos principales documentos acerca del conocimiento matemático de aquella época. Estos papiros contienen problemas y sus respectivas resoluciones. El de Moscú plantea 25 problemas; y el de Rhind, 87. En ellos se introducen varios temas: proporciones, ecuaciones lineales, progresiones aritméticas y geométricas, cálculos de áreas y volúmenes, pesos, etc. Sin embargo, los papiros no contienen demostraciones, por lo que es difícil saber cómo ellos deducían sus fórmulas y métodos. **

= ** 1. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN. ** =

Los egipcios inventaron una escritura y un sistema de numeración escrita hacia el año 3000 antes de Cristo, los jeroglíficos. El conocimiento de los métodos de cálculo de los egipcios y su aplicación a problemas concretos proviene de algunos papiros, siendo el más importante el papiro Rhind que data del siglo XVII antes de Cristo. Rhind es el nombre de la persona que lo donó al museo británico, pero el autor del papiro, un egipcio de nombre Ahmes, nos asegura que algunos de los conocimientos provienen de épocas anteriores, de comienzos del II milenio a. C. Dichos papiros describen un sistema de numeración decimal, como el nuestro, con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10.



En esta imagen aparece la reproducción de los números 66 y 80:



El sistema de numeración egipcio era de base diez, como el nuestro, cada diez unidades de un orden forman una unidad de orden superior ( 10 unidades forman 1 decena, 10 decenas forman un centena...) Pero a diferencia del nuestro, que es posicional, es decir, el valor de un dígito depende de la posición dentro del número (en 12 el dígito 2 vale dos unidades, pero en 24 el mismo dígito vale 20 unidades), el sistema egipcio era aditivo, el número se obtiene sumando los valores correspondientes a cada símbolo individual ( **∩∩∩  | | | | | | | | **  = 38). Tampoco la escritura estaba obligada a ser horizontal, sino que podía ser vertical si así se prefería. La elección de todas estas factores dependía, principalmente, de cuestiones estéticas.



¿Serías capaz de completar la tabla anterior con números egipcios y sus valores correspondientes?

= ** 2. LAS OPERACIONES. ** =

Para nosotros no presenta ninguna dificultad multiplicar o dividir dos números usando papel y lápiz, para otras civilizaciones no era una tarea fácil. Eran muy pocas las personas que podían realizar dichas operaciones y sólo después de años de preparación. Los escribas egipcios eran algunas de estas personas. Los cálculos, para nosotros elementales, los realizaban con números naturales, y con fracciones unitarias (fracciones cuyo numerador es la unidad o número uno). Éstas son las únicas fracciones que usaban además de 2/3 y 3/4.

__2.1. Suma y Resta __
La suma y resta no presentan gran dificultad. Para la primera basta juntar todos los símbolos teniendo presente que cada diez de una unidad deben ser sustituidos por uno de la unidad inmediata superior (si salen 10 trazos verticales deberemos borrarlos y en su lugar pondremos una U invertida).

__2.2. Multiplicación __
Al igual que los babilonios, la multiplicación la hacían a través de duplicaciones sucesivas. Para multiplicar m por n hacían una tabla de dos columnas en cuya primera fila colocaban a m y al 1. Luego, se duplicaba esta fila para obtener la segunda. Este proceso se repetía hasta que la suma de todos los elementos de la segunda columna fuesen iguales a n, o bien hasta que en la columna de la izquierda se escribe un número tal que al hacer su doble sobrepase al otro factor. Finalmente, el resultado deseado era la suma de los elementos deseados de la primera columna. Por ejemplo, para multiplicar 21 por 3, se hacía así: 21 1  42 2 En la segunda columna se ve que 1 + 2 = 3. Luego, el resultado buscado es 21 + 42 = 63. Otro ejemplo, 36 por 15. 36 1  72 2  <span style="display: block; font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; text-align: center;"> 144 4  <span style="display: block; font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; text-align: center;"> 288 8 <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Como 8 + 4 + 2 + 1 = 15, el valor deseado es 36 + 72 + 144 + 288 = 540. Por último, multipliquemos 34 · 27: <span style="display: block; font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; text-align: center;">34 1 <span style="display: block; font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; text-align: center;"> 68 2  <span style="display: block; font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; text-align: center;"> 136 4  <span style="display: block; font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; text-align: center;"> 272 8  <span style="display: block; font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; text-align: center;"> 544 16 <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Para obtener el resultado de la multiplicación debemos buscar en la columna de la derecha los números que sumen 27 (1+2+8+16), y sumando sus correspondientes de la columna de la izquierda, obtenemos el resultado deseado (34+68+272+544=918).

__<span style="color: #984806; font-family: Tahoma,Geneva,sans-serif;">2.3. División __
<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">La división de n entre m consistía en crear una tabla de dos columnas en cuya primera fila se colocaba el uno y m. Luego se formaban las siguientes filas multiplicando por dos hasta que la suma de los números de la segunda columna fuese n, o el número más cercano sin pasarse. El resultado de la división sería la suma de los números de la primera columna. Por ejemplo, para hacer 21 entre 3: <span style="display: block; font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; text-align: center;">1 3 <span style="display: block; font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; text-align: center;"> 2 6  <span style="display: block; font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; text-align: center;"> 4 12 <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Y así termina porque, en la segunda columna, 3 + 6 + 12 = 21 = n. Luego, el valor buscado es 1 + 2 + 4 = 7. Este es un ejemplo sencillo porque la división es entera. Cuando aparecían fracciones había que dividir entre 2 hasta reducir el numerador de la fracción a 1. Por ejemplo, para dividir 21 entre 6 se ejecutaba el mismo proceso anterior hasta que se obtenía un número mayor que el numerador. Si este no se podía obtener como la suma de los valores de la columna de la derecha, se continuaba la tabla dividiendo entre 2 a cada una de sus filas. <span style="display: block; font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; text-align: center;">1 <span style="display: inline !important; font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; text-align: center;">6  <span style="display: block; font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; text-align: center;"> 2 12  <span style="display: block; font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; text-align: center;">1/2 3 <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Como 6 + 12 + 3 = 21, entonces 21/6 = 1 + 2 + 1/2.

= ** 3. LAS FRACCIONES. ** =

<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">El uso de las fracciones es sin duda el rasgo más peculiar de la matemática egipcia. La base de la representación de una fracción se centraba en las fracciones de numerador unidad, y las fracciones 2/3 y 3/4, obtenidas por adición de las anteriores. Gracias a ellas, conseguían realizar operaciones fraccionarias de cualquier tipo. Para escribir un valor fraccionario, se representaba un símbolo parecido a un ojo sobre el valor numérico del denominador, a excepción de algunas fracciones:



<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Una de las primeras representaciones de las fracciones provino de un jeroglífico de gran significado místico: EL OJO DE HORUS. HORUS era un dios representado como mitad hombre y mitad halcón. Según la leyenda el padre de Horus fue asesinado por su otro hijo SETH. Horus decidió vengar su muerte y durante una batalla particularmente feroz, Seth le arrancó un ojo a Horus, lo despedazó y lo esparció por todo Egipto, pero los dioses se apiadaron de él, recogieron cada trozo y rearmaron su ojo. Cada parte del ojo representa una fracción diferente y cada parte es la mitad de la fracción anterior; aunque el ojo original representaba el total, al ojo restituido le faltaba parte.

<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Así, las cejas equivalían a 1/8, la pupila 1/4, la parte izquierda de la pupila 1/2, la parte derecha de la pupila 1/16, la parte inferior vertical bajo el ojo 1/32 y la parte inferior diagonal del ojo representaba 1/64. La notación era la siguiente:

<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 21.111112594604492px;">Algo bastante curioso es que los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad 1/m, para expresar a todas las fracciones cuyo numerador fuera distinto de 1. Por ejemplo, 2/5 era la suma de las fracciones 1/5 y 1/15, ya que los sumandos no podían repetirse. Para ayudarse con estos cálculos se utilizaban tablas. La más famosa es la tabla del Recto (curioso nombre), que aparece en el papiro del Rhind. En dicha tabla figura cómo escribir la fracción 2/n como suma de elementos de la unidad. Así, en la cuarta fila, por ejemplo, vemos que 2/9 = 1/6 + 1/18.



= ** 4. LA GEOMETRÍA. ** = <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;"> Como ya hemos dicho antes, los conocimientos geométricos de los egipcios también eran considerables. Sin dichos conocimientos no habrían podido construir las pirámides o medir tierras... la geometría egipcia junto a la babilónica, fue la precursora de la potente geometría griega. Los primeros matemáticos griegos (Tales de Mileto, Pitágoras, ...) viajaron por Babilonia y Egipto antes de realizar sus tratados. Dominaban perfectamente los triángulos gracias a **//los anudadores.//** Los anudadores egipcios hacían nudos igualmente espaciados que servían para medir. Fueron los primeros en observar que uniendo con forma de triángulo, cuerdas de ciertas longitudes se obtiene un ángulo recto, y también conseguían mediante estos nudos triángulos rectángulos. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; line-height: 0px; overflow: hidden;"> <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Pitágoras recogió toda esta experiencia geométrica para su teorema. Es decir, los egipcios ya conocían la relación entre la hipotenusa y los catetos en un triángulo rectángulo. Utilizaban el que más tarde se conoció como Teorema de Pitágoras pero de forma práctica, no sabían demostrarlo. Entre las fórmulas que tenían para medir áreas, se pueden citar las de superficie del cuadrado (a partir del triángulo), del rectángulo, del rombo y del trapecio. En cuanto al área del círculo utilizaron una fórmula que daba a Pi un valor bastante aproximado. En el Papiro de Rhind encontramos:

<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Los papiros nos han dejado constancia de que los egipcios situaban correctamente tres cuerpos geométricos: el cilindro, el tronco de la pirámide y la pirámide. La utilidad de cálculo volumétrico resulta fácil: se precisaba, entre otras cosas, para conocer el número de ladrillos necesarios para una construcción