Matemáticas+Museo+Personajes

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= ** 1. GRECIA. ** =

La civilización griega fue una de las que más personajes importantes ha aportado a la historia de las matemáticas, con resultados y teoremas que siguen vigentes y siendo utilizados aún en la actualidad. Pero más importante que lo que estos teoremas afirman, y que es el gran legado de los griegos, es el proceso deductivo basado en la lógica, axiomas y definiciones. Esto dista mucho de los babilonios y, sobre todo, de los egipcios, cuyas matemáticas eran más bien "empíricas", es decir, basadas en la observación. De hecho, parece ser que muchos de los descubrimientos atribuidos a los primeros matemáticos griegos ya era conocido por las egipcios y babilonios, y que probablemente los aprendieron de ellos. Sin embargo, fueron los griegos quienes hicieron las demostraciones. Ellos ya no veían los rectángulos como parcelas de tierra o los cilindros como vasijas, sino que hablaban de rectángulos y cilindros: desarrollaron la //abstracción matemática//.

__TALES DE MILETO __
Nació y murió (624 a.C. - 546 a.C.) en la ciudad de Mileto. Sus padres fueron Examyes y Cleobuline. Fue maestro de Anaximandro. Ninguno de sus escritos sobrevivieron, por lo que es difícil saber exactamente cuáles fueron sus descubrimientos matemáticos. Probablemente se le atribuyan descubrimientos que no le corresponden, y casi todo lo que sabemos de él proviene de Aristóteles y Platón. Primero fue a Egipto y desde allí introdujo en Grecia los estudios sobre Geometría.

La opinión antigua es unánime al considerar a Tales como un hombre excepcionalmente inteligente y como el primer filósofo griego, científico y matemático, pero actuaba como un ingeniero. Es considerado el primero de los Siete Sabios Griegos. El hecho concreto que más aseguró su reputación fue la predicción de un eclipse de sol en 585 a. C., que tuvo lugar exactamente el 28 de mayo del año que él había predicho. Igualmente fue el primero en mantener que la luna brilla por el reflejo del sol. Según Proclo, primero fue a Egipto donde entró en contacto con la Geometría que luego introdujo a Grecia.

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**Teoremas importantes **
Tomó prestada la Geometría de los egipcios y dio en ella un avance fundamental ya que fue el primero en emprender la tarea de demostrar exposiciones matemáticas mediante series regulares de argumentos. En otras palabras, inventó la matemática deductiva. Se le asignan entre otros los siguientes teoremas:
 * 1) Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.
 * 2) Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por un diámetro.
 * 3) Los ángulos básicos en un triángulo isósceles son iguales.
 * 4) Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas, son iguales.
 * 5) Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son respectivamente iguales a dos ángulos y un lado del otro, entonces los dos triángulos son iguales.

**Teorema de Tales **
Midió la altura de las pirámides midiendo la altura de sus sombras en el momento en el cual la sombra de una persona es igual a su altura. Este razonamiento no parece surgir de conocimientos geométricos sino más bien de una observación empírica. Creyó que en el momento en que la sombra de un objeto coincide con su altura, también eso es válido para cualquier objeto, por ejemplo, la pirámide. Luego utilizó conceptos similares al de la semejanza de triángulos para calcular, por ejemplo, la distancia a un barco en el mar.

Creía que La Tierra era un disco plano que flotaba sobre agua y que todas las cosas venían del agua. Explicaba los terremotos por el hecho de que la Tierra flote sobre agua. Fue el primero en tratar de explicar estos fenómenos en forma racional y no por medios sobrenaturales.

<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Hay dos anécdotas vinculadas a Tales. Una la cuenta Aristóteles, y dice que Tales usaba sus habilidades para deducir que la cosecha de aceitunas de la siguiente temporada sería muy buena. Entonces compraba todas las prensas de aceitunas, con lo cual podía hacer fortunas cuando la abundante cosecha llegaba. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; line-height: 1.5;">Platón cuenta la otra anécdota: una noche, Tales estaba observando el cielo y tropezó. Una sirviente lo levantó y le dijo: cómo pretendes entender lo que pasa en el cielo, si no puedes ver lo que está a tus pies.

<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Es difícil escribir sobre Tales, como sobre otros personajes de esa época, porque era común acreditarles a hombres famosos descubrimientos que no hicieron. Por ejemplo, no hay constancia histórica de que Tales haya enunciado el teorema que conocemos como **Teorema de Tales**, aunque sí es cierto que Tales trabajó sobre la proporcionalidad de segmentos al calcular alturas midiendo las sombras.

<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">En el momento de morir pronunció las siguientes palabras: «Te alabo, ¡oh Zeus!, porque me acercas a ti. Por haber envejecido, no podía ya ver las estrellas desde la tierra. »

__<span style="color: #984806; font-family: Tahoma,Geneva,sans-serif;">PITÁGORAS DE SAMOS __
<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Filósofo griego nacido en la Isla de Samos (580 a.C.) y muerto en Metaponto (520 a.C.). Se lo considera el primer matemático puro, aunque no haya quedado ninguno de sus escritos. La sociedad que lideró estaba regida por códigos secretos que hace que su figura sea muy misteriosa. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">La figura de Pitágoras está envuelta en un halo de leyenda, misticismo y hasta de culto religioso. Y no es tan extraño si pensamos que fue contemporáneo de Buda, de Confucio y de //Lao-Tse,// fundadores éstos de las principales religiones orientales. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">El padre de Pitágoras fue //Mnesarchus//, un mercader proveniente de Tiro, y su madre //Pithais//, quien era nativa de Samos. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Se pueden distinguir tres etapas en su vida: la primera en el mundo griego, la segunda de viajes a Babilonia y Egipto, y La tercera en lo que más tarde se llamó la Magna Grecia, con un intermedio en Samos entre la segunda y la tercera etapa. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">De pequeño Pitágoras viajó mucho con su padre. Hay registros de Pitágoras en Tiro, donde aprendió con los hombres ilustrados de Siria. También habría visitado Italia con su padre. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Tres filósofos se encontraban entre sus maestros. Uno fue //Pherekydes//. Los otros dos filósofos son Thales y su discípulo Anaximandro, quienes lo introdujeron en las ideas matemáticas. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Pitágoras conoce a Thales en Mileto entre los 18 y 20 años. En esta época, Thales era un anciano y contribuyó al interés de Pítágoras por la Matemática y la Astronomía y le aconseja viajar a Egipto para profundizar estos temas. Anaximandro le dio clases de Geometría y Cosmología y muchas de sus ideas influyeron en Pitágoras. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Pitágoras viaja a Egipto en el 535 a.C. Esto es unos años antes de que el tirano Policrates tomara el control de Samos. Pitágoras va a Egipto con una carta de recomendación de Policrates, de quien era amigo. Había una alianza y estrechos vínculos políticos, en esa época, entre Egipto y Samos. Allí visitó muchos templos y se vinculó con los sacerdotes, de quienes tomó muchas ideas que impuso posteriormente a su sociedad. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">En el 525 a.C. Cambises, invadió Egipto. Polícrates abandonó su alianza con Egipto y envió 40 barcos para unirse a los persas en su invasión. Después de que Cambises II ganara la Batalla de //Pelusium// en el Delta del Nilo contra los egipcios, Pitágoras fue tomado prisionero y llevado a Babilonia. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">En el 520 Pitágoras retorna a Samos desde Babilonia. No se sabe como obtuvo su liberación de Babilonia. Polícrates fue asesinado en 522 a.C. y en el verano del mismo año murió Cambises II. La muerte de estos dos tiranos debe haber sido la razón por la cual Pitágoras regresó. Darío de Persia tomó el control Samos después de la muerte de Polícrates. Pitágoras hizo un breve viaje a Creta luego de su regreso a Samos para estudiar el sistema de leyes vigentes. Cuando retornó a Samos, Pitágoras se trasladó a la polis (ciudad-estado) Crotona, colonia griega en el sur de Italia, alrededor del 518 a.C. Estas colonias gozaban entonces de una gran prosperidad, sobresaliendo entre ellas Síbaris, famosa en el mundo griego por sus riquezas y su vida lujosa. Crotona era su principal rival y vecina. Allí llegó Pitágoras con un sistema de pensamiento más o menos perfilado después de su larga experiencia por Oriente y Egipto. La ciudad le pidió que expusiera sus ideas y, según la tradición, Pitágoras dirigió por separado cuatro grandes discursos a los jóvenes, al Senado a las mujeres y a los niños. El contenido de estos cuatro discursos tal como ha sido transmitido por diversos conductos, está lleno de recomendaciones morales de gran perfección, derivadas fundamentalmente de la necesidad de ajustar la conducta humana a los cánones de armonía y justeza que se derivan de la naturaleza misma de las cosas e ilustradas con elementos específicos de la mitología de los habitantes de Crotona. Como consecuencia de este primer contacto surgió, al parecer, no sólo en Crotona, sino en toda Italia, un gran entusiasmo por Pitágoras.

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<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">La muerte de Pitágoras sucedió en una revuelta popular, en la que los ciudadanos de Crotona pensaba que las tierras conquistadas por una guerra con el pueblo vecino se iban a entregar a los pitagóricos. Los amotinados, rodearon la casa de Mitón, taparon las salidas y le prendieron fuego. Pitágoras y muchos de sus discípulos murieron. Los supervivientes huyeron y esto sirvió para divulgar sus conocimientos. Las teorías pitagóricas sólo se conocieron a través de sus discípulos. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">A Pitágoras se le atribuye la invención de las palabras Filosofía (amor por la sabiduría) y Matemática (un matemático es el que aprende). Inventó estas palabras para describir sus actividades intelectuales. A continuación se exponen algunos de sus más importantes descubrimientos, aunque existen muchos otros atribuidos a él o a su escuela. Puedes conocer más pinchando aquí.

**<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; line-height: 1.5;">La Escuela Pitagórica **
<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">En Crotona vivía Mitón, un hombre rico y muy famoso, porque había sido el campeón de Los Juegos Olímpicos en doce ocasiones. Estaba interesado en la Filosofía y la Matemática, y cedió parte de su casa a Pitágoras, para que crease su propia escuela. Allí fundó una Sociedad religiosa y filosófica. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">La Sociedad que fundó (Hermandad Pitagórica) tenía un credo muy estricto y un rígido código de conducta, pero era igualitaria e incluía varias mujeres. Una de ellas era Teano, la hija de Mitón con quien Pitágoras se casó. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Superado un período de prueba, se permitía a los nuevos iniciados en la secta oír la voz del Maestro, oculto tras una cortina. Años después, más profundamente purificadas sus almas por la regla pitagórica, se les permitiría ver a Pitágoras. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">La Hermandad Pitagórica era una comunidad religiosa y uno de los ídolos que veneraban era el Número. La educación de sus discípulos se basaba de la práctica de la gimnasia, la alimentación vegetariana, la música y el estudio del conocimiento por medio de las matemáticas. De ahí que el lema de la escuela pitagórica fuera “Todo es número”. Los pitagóricos creían que, merced a la Matemática, el alma podría ascender a través de las esferas hasta unirse finalmente a Dios. La secta estaba caracterizada por el retiro, el ascetismo y el misticismo. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Los pitagóricos dividieron el saber científico en cuatro ramas: La aritmética o ciencia de los números, la geometría, la música y la astronomía. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">La perfección numérica, para los pitagóricos, dependía de los divisores del número. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Los pitagóricos estudiaron propiedades de los números que nos son familiares actualmente, como los números pares e impares, números perfectos (son iguales a la suma de todos sus divisores), números primos, números poligonales: triangulares, cuadrados, pentagonales. Estos últimos solo conservan un interés histórico.



<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Pero para los pitagóricos los números tenían otras características que no se aceptan en la actualidad, sostenían que cada número tenían su propia personalidad, masculina o femenina, perfecto o incompleto, hermoso o feo. El diez era el mejor número porque contiene en sí mismo los cuatro primeros dígitos, 1+2+3+4=10, y estos escritos en forma triangular forman un triángulo perfecto.



<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Los pitagóricos se adhirieron a ciertos misterios, proponían la obediencia y el silencio, la abstinencia de comida, simplicidad en la vestimenta y posesiones, y la frecuente auto-examinación. Creían en la inmortalidad y la reencarnación del alma. Pitágoras, de hecho, decía haber sido Euphorbus, un guerrero de la Guerra de Troya.

**<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; line-height: 1.5;">El Teorema de Pitágoras **
<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Pero lo que colmó de gozo a Pitágoras, hasta el punto de mandar sacrificar un buey a los dioses, fue la demostración del famoso teorema. En geometría, el gran descubrimiento de la Escuela fue que la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, conocido actualmente como el Teorema de Pitágoras. Aunque este teorema era conocido por los babilonios 1000 años antes, Pitágoras fue el primero que lo demostró.



<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Por desgracia, el secreto que imponía las normas de la sociedad ha hecho imposible que esta demostración llegue a nuestro conocimiento, aunque podemos deducir que no sería muy distinta de la que Euclides nos brinda en sus Elementos. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Sin duda es el teorema que cuenta con más número de demostraciones. Scott Loomis reunió y publicó a principios del siglo XX 367 demostraciones distintas. En la siguiente imagen podéis acceder a algunas de ellas:

<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 21.111112594604492px;">A partir del teorema surgieron las ternas pitagóricas, que son tres números que cumplen el teorema. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Algunas de estas ternas ya aparecen en la llamada tablilla de Plimton 332, una tablilla de barro de origen babilónico datada en el 1800 a.C. y que se conserva en la Universidad de Columbia. A continuación tenéis una interesante construcción con el programa Geogebra que utilizaremos en clase: <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; line-height: 0px; overflow: hidden;"> media type="custom" key="25882358" align="center"

**<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; line-height: 1.5;">Armonía musical: Escala Pitagórica **
<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Según los pitagóricos todas las cosas son numerables y muchas de ellas pueden ser expresables numéricamente, siendo el descubrimiento de la expresión numérica de los intervalos musicales lo que más les impresionó. Ellos se dieron cuenta de que la altura de un sonido depende del número en tanto en cuanto depende de la longitud de las cuerdas, de ahí que sea posible representar numéricamente los intervalos de la escala. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;"> Para obtener la escala se dice que Pitágoras inventó un instrumento de una sola cuerda, el monocordio, que permite cambiar la longitud de la cuerda para obtener diferentes sonidos. Pulsando la cuerda del monocordio en su máxima longitud obtenemos la nota original. Si la longitud de la cuerda se reduce a la mitad, es decir una relación 1:2 obtenemos una octava. Si la longitud es 3:4 obtenemos la cuarta y si es 2:3 tenemos la quinta.

<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Con este instrumento Pitágoras pudo obtener las siete notas de la escala y construir la escala natural o de sonidos diatónicos. <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">La relación entre el número y la armonía musical les llevó a concluir que la armonía del universo dependía también de los números. El cielo era entendido como una gran escala musical y un número.