Matemáticas+Museo+Grecia

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 * Lo primero que le debemos a los griegos es el nombre mismo de las matemáticas, que viene de la palabra //mathemas,// significa "//campo de estudio//" y se refiere a las áreas del conocimiento que sólo se pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas, en contraposición de //musiké// que se refiere a la poética, a la retórica y similares. Más tarde se le llamarían //Mathematikos// a quienes estudiaban los cuatro campos del saber según Pitágoras y Platón: aritmética, música, astronomía y geometría. **
 * En esta sección comprenderemos algunas de las inquietudes que llevaron a la civilización griega a realizar tan importantes aportaciones a nuestras matemáticas, y conoceremos los principales avances en muchos de sus campos, especialmente en aritmética y geometría. **

= ** 1. DIVISIBILIDAD. ** = La divisibilidad de los números es conocida desde tiempos remotos. Así, los hindúes ya conocían la divisibilidad entre 3, 7 y 9, y los egipcios conocían los números pares e impares. No obstante, los mayores avances en este campo se produjeron gracias a los griegos. En especial, fue el matemático griego Euclides el que demostró los teoremas básicos de la divisibilidad de números enteros que aquí utilizaremos. Posteriormente, ya en el siglo XVI, el matemático Francés Pascal (1623-1662) propuso las reglas para conocer la divisibilidad de cualquier número.

__1.1. Múltiplos, Divisores y Criterios de divisibilidad __
Para comenzar, empezaremos dando algunas definiciones importantes y algunos resultados necesarios para comprender mejor este concepto. En la sobre los azulejos del museo habéis utilizado, quizás sin saberlo, muchos de los conceptos que aquí estudiaremos.

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Los conceptos de **múltiplo** y **divisor**, así como los **criterios de divisibilidad** estudiados son muy importantes para poder proseguir con el estudio de las definiciones que daremos a continuación. Copia las definiciones y los ejemplos en tu cuaderno y apréndelos. Posteriormente, puedes comprobar tu aprendizaje intentando realizar la siguiente ficha de ejercicios.

__1.2. Números Primos __
El siguiente concepto fundamental en el estudio de la divisibilidad, del que ya se ha hablado anteriormente, es el de **número primo**. Tal fue la importancia dada por los griegos que matemáticos de la época como Euclides o Erastótenes dedicaron muchos de sus estudios a estos números. Actualmente se utilizan para muchísimas disciplinas como la criptografía y el criptoanálisis. La //criptografía// es la ciencia que estudia la protección de la información con distintos métodos para impedir el acceso a la misma de personas no autorizadas, y el //criptoanálisis// trata de romper dichos métodos para obtener la información original. Se dice que es tan antigua como la escritura, y que los propios griegos ya llegaron a utilizarla. Actualmente tiene una gran importancia en las comunicaciones de los gobiernos, entre sedes de una empresa, en transacciones económicas en las llamadas de móvil, en el comercio por Internet, etc., ya que necesitan estar protegidas y a salvo de intrusos para salvaguardar los intereses y la intimidad de las personas. En el siguiente vídeo podrás comprender mejor qué son los números primos y sus aplicaciones en la actualidad.

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Tal como hemos visto, para obtener los números primos menores que uno dado se utiliza la denominada Criba de Erastótenes. En la siguiente tabla podemos ver los números primos menores que 100, obtenidos mediante esta técnica:



__1.3. Descomposición de un número en Factores Primos __
A continuación, terminaremos este apartado tan importante con la descomposición de un número en factores primos, también llamada **factorización**, y los conceptos de **máximo común divisor** (MCD) y **mínimo común múltiplo** (mcm), los cuales tienen importantes aplicaciones en la vida real.

Todos los números compuestos se pueden poner como producto de números primos siendo su resultado único. Llamaremos descomposición factorial de un número natural a su expresión en forma de producto de factores primos. La descomposición factorial es mejor realizarla de forma ordenada con el siguiente proceso reiterativo:



__1.4. Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo __
Por último, estudiaremos los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo, y comprenderemos muchas de sus aplicaciones a problemas reales:

El **Máximo Común Divisor** es, como su nombre indica, el mayor de los divisores comunes de varios números. Puedes descubrir su significado pinchando aquí. No obstante, este método para calcularlo puede ser muy engorroso y largo cuando los números sean muy grandes o tengan muchos divisores. Existe otro método más sencillo de cálculo: en él, se descompone cada uno de los números en factores primos como hemos visto anteriormente. El M.C.D. es el resultado de multiplicar los factores que se repitan en todas las descomposiciones, elevados al menor exponente con el que aparezcan. En el caso de que no se repita ningún factor, el M.C.D. de esos números es 1, y se dice que los números son //primos entre sí//. Por ejemplo, el 18 y el 25 son primos entre sí.



En el siguiente vídeo se explica este método detalladamente:

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El **Mínimo Común Múltiplo** es, así mismo, el menor de los múltiplos comunes a varios números. Puedes descubrir su significado pinchando aquí. Sin embargo, existe también otro método para calcularlo utilizando la descomposición de los números en factores primos. Para calcularlo, descomponemos los números en factores primos, y el m.c.m es el resultado de multiplicar los factores comunes y los no comunes, afectados por el mayor exponente. Si los números son primos entre sí, el m.c.m. es el producto entre ellos.

En el siguiente vídeo se explica este método detalladamente:

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Para no confundir el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, piensa que siempre nos interesa el MAYOR DE LOS DIVISORES (ya que el menor sería 1) y el MENOR DE LOS MÚLTIPLOS (ya que el mayor sería infinito). Puedes comprobar tus soluciones en esta página. Este procedimiento es válido para calcular el MCD y mcm de varios números.

= ** 2. LAS FRACCIONES. ** =

La idea del número fraccionario fue desarrollada no sólo por los egipcios, sino también por los babilonios y más tarde por los griegos seguidores del gran sabio Pitágoras, quien vivió en el siglo VI a.C. y desarrolló una verdadera filosofía del número. Los pitagóricos, como fueron llamados los seguidores de Pitágoras, consideraban a los números no sólo como cantidades sino como los elementos que regían al Universo. Los números eran asociados a todos los fenómenos conocidos y el Universo era concebido en términos de relaciones matemáticas. Puedes conocer a fondo la teoría sobre fracciones en la siguiente página.

__2.1. Conceptos de Fracción __
Una **fracción**, denominada por los griegos como la //razón// entre dos números, puede entenderse de varias formas:


 * 1. **Una fracción es el **cociente o división** de dos números enteros, donde el divisor tiene que ser siempre distinto de cero:




 * 2. Fracción como parte de la unidad: **En este caso, el denominador es el número de partes iguales en las que se divide la unidad y el numerador es el número de partes que se toman.



2.2. Operaciones con fracciones
En muchas ocasiones, es necesario realizar operaciones con fracciones para resolver determinados problemas. A continuación vamos a recordar las principales operaciones que podemos realizar con ellas y el procedimiento a seguir:

**1. Simplificación de fracciones **
<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Simplificar una fracción es transformarla en otra que representa la misma cantidad (equivalente) pero en la que el numerador y el denominador son números más pequeños. Es muy importante simplificar bien las fracciones para no trabajar con números grandes y evitar así operaciones complejas. Observa los siguientes ejemplos: <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">A una fracción que ya no puede simplificarse más se le llama **fracción irreducible**. Para obtenerla, basta con dividir el numerador y el denominador entre el máximo común divisor de ambos números.



**<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">2. Suma y resta de fracciones **
<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Sumar y restar dos fracciones con el **mismo denominador** resulta muy sencillo, ya que basta con sumar o restar los numeradores (que indican cuántas partes tomamos) y dejar el mismo denominador, ya que la unidad sigue dividida en el mismo número de trozos. Observa los siguientes ejemplos:



<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Sin embargo, cuando ambas fracciones tienen **distinto denominador**, el proceso es un poco más complicado. En primer lugar, debemos obtener fracciones equivalentes a las dadas que tengan el mismo denominador, para proceder igual que en el ejemplo anterior. Para ello, haremos uso del mínimo común múltiplo estudiado anteriormente. Observa el proceso: <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; line-height: 1.5;">Observa el ejemplo:
 * 1) <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; line-height: 1.5;">Obtenemos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ese número será el nuevo denominador de las fracciones equivalentes.
 * 2) <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; line-height: 1.5;">Dividimos el mcm entre el antiguo denominador.
 * 3) <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; line-height: 1.5;">El resultado obtenido, lo multiplicamos por el antiguo numerador.
 * 4) <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; line-height: 1.5;">Realizamos la operación con ambas fracciones, que tienen ya el mismo denominador.
 * 5) <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 21.111112594604492px;">Finalmente, y siempre que sea posible, simplificamos el resultado.



<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt; line-height: 1.5;">Observa lo que ocurre de manera gráfica: <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Para poder llevar a cabo la operación es necesario dividir la unidad en el mismo número de trozos, lo cual lo conseguimos utilizando el mínimo común múltiplo. Una vez dividida la unidad en partes iguales para ambas fracciones y escogidos los trozos correspondientes, podemos operar con fracciones que tiene ya el mismo denominador.

<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Es decir, al obtener fracciones equivalentes a las iniciales con el mismo denominador, hemos conseguido dividir la unidad en el mismo número de trozos, lo cual nos permite sumarlas o restarlas con facilidad.

**<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">3. Producto o multiplicación de fracciones **
<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Es bien sabido que multiplicar 4·7 significa sumar al 4 consigo mismo 7 veces. Así, puede también multiplicarse cualquier número por una fracción y el resultado es igual a lo que se obtiene al sumarla:



<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Pero es fácil comprobar que esta operación puede expresarse así:

<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Es decir, cualquier número entero puede expresarse en forma de fracción simplemente poniendo un 1 en el denominador. De aquí se puede deducir que l producto de fracciones es una operación bastante más sencilla que las dos anteriores. Para multiplicar varias fracciones se multiplican sus numeradores y también sus denominadores, colocando los resultados del producto en su lugar. Observa el ejemplo: <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">Gráficamente, cuando multiplicamos dos fracciones, lo que hacemos es calcular una nueva fracción que divide la unidad en tantos trozos como el producto de los denominadores y toma tantos trozos como el producto de los numeradores:





**<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">4. Cociente o división de fracciones **
<span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 16pt;">La división es una operación inversa a la multiplicación, pues cuando se multiplica al número 5, por ejemplo, por el número 3 se obtiene el 15, y si se divide el 15 entre 3, se vuelve a obtener al 5. Ahora, cuando se va a dividir una fracción entre otra, simplemente se hace como en el ejemplo siguiente: <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 21.111112594604492px;">Aunque habitualmente lo que suele hacerse es multiplicar en cruz como se indica a continuación: <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 21.111112594604492px;">También puede dividirse una fracción entre en número entero al igual que antes, colocando un 1 en el denominador y procediendo de la misma manera: <span style="font-family: 'Bell MT',serif; font-size: 21.111112594604492px;">Por tanto, para dividir fracciones basta con conocer la operación del producto y multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda.